Różne metody analitycznego izolowania pierwiastków

1. Metoda połowienia

Metoda równego podziału (metoda połowienia, metoda bisekcji, metoda połowienia przedziału) – jedna z metod rozwiązywania równań nieliniowych. Opiera się ona na twierdzeniu Bolzano-Cauchy’ego:

Jeżeli funkcja ciągła ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału, istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania

Aby można było zastosować metodę równego podziału, muszą być spełnione założenia:

1. funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym
2. funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału:

Przebieg algorytmu:

1. Sprawdzić, czy pierwiastkiem równania jest punkt czyli czy
2. Jeżeli tak jest, algorytm kończy się, a punkt jest miejscem zerowym. W przeciwnym razie dzieli przedział na dwa mniejsze przedziały i
3. Wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie, tzn. albo albo Cały proces powtarzany jest dla wybranego przedziału.

Działanie algorytmu kończy się w punkcie 2 albo po osiągnięciu żądanej dokładności przybliżenia pierwiastka.

2. Regula falsi

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.
Na funkcję nakładane są następujące ograniczenia:

1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: .
3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

• Na początku przez punkty i przeprowadzana jest cięciwa.
• Punkt przecięcia z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
• Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
• Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty oraz lub – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do . Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
• Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX () i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula¹ znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

dla

3. Metoda siecznych 

Metoda siecznych (metoda Eulera) — metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.
Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku krzywą zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.
Metodę siecznych dla funkcji , mającej pierwiastek w przedziale można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

Metoda siecznych ma tę zaletę, że do wykonania interpolacji za jej pomocą niepotrzebna jest znajomość pochodnych funkcji (odwrotnie niż np. w metodzie Newtona). Z drugiej strony, gdy wybierzemy zbyt mały przedział metoda ta może nie być zbieżna, np.:

W powyższym przypadku na zmianę będziemy otrzymywali pierwiastki równe 0,5 lub 1. Gdy metoda siecznych nie prowadzi do wyniku, warto zastosować metodę alternatywną.